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                第一章 數學奧賽集合與簡易邏輯講義(教案)

                 

                集合與函數系列專題一 集合與簡易邏輯

                一、基礎知識

                定義1一般地,一組確定的、互異的、無序的對象的全體構成集合,簡稱集,用大寫字母來表示;集合中的各個對象稱為元素,用小寫字母來表示,元素x在集合A中,稱x屬于A,記為x?A,否則稱x不屬于A,記作x?A。例如,通常用N,Z,Q,B,Q+分別表示自然數集、整數集、有理數集、實數集、正有理數集,不含任何元素的集合稱為空集,用?來表示。集合分有限集和無限集兩種。

                集合的表示方法有列舉法:將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內并用逗號隔開表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:將集合中的元素的屬性寫在大括號內表示集合的方法。例如{有理數},{xx?0}分別表示有理數集和正實數集。

                定義2子集:對于兩個集合A與B,如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素,則A叫做B的子集,記為A?B,例如N?Z。規定空集是任何集合的子集,如果A是B的子集,B也是A的子集,則稱A與B相等。如果A是B的子集,而且B中存在元素不屬于A,則A叫B的真子集。

                定義3交集,A?B?{xx?A且x?B}.

                定義4并集,A?B?{xx?A或x?B}.

                定義5補集,若A?I,則C1A?{xx?I,且x?A}稱為A在I中的補集。

                定義6差集,A\B?{xx?A,且x?B}。

                定義7集合{xa?x?b,x?R,a?b}記作開區間(a,b),集合

                {xa?x?b,x?R,a?b}記作閉區間[a,b],R記作(??,??).

                定理1集合的性質:對任意集合A,B,C,有:

                (1)A?(B?C)?(A?B)?(A?C); (2)A?(B?C)?(A?B)?(A?C);

                (3)C1A?C1B?C1(A?B); (4)C1A?C1B?C1(A?B).

                【證明】這里僅證(1)、(3),其余由讀者自己完成。

                (1)若x?A?(B?C),則x?A,且x?B或x?C,所以x?(A?B)或x?(A?C),即x?(A?B)?(A?C);反之,x?(A?B)?(A?C),則x?(A?B)或x?(A?C),即x?A且x?B或x?C,即x?A且x?(B?C),即x?A?(B?C).

                (3)若x?C1A?C1B,則x?C1A或x?C1B,所以x?A或x?B,所以x?(A?B),又x?I,所以x?C1(A?B),即C1A?C1B?C1(A?B),反之也有

                C1(A?B)?C1A?C1B.

                定理2加法原理:做一件事有n類辦法,第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法,…,第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事一共有N?m1?m2???mn種不同的方法。

                定理3乘法原理:做一件事分n個步驟,第一步有m1種不同的方法,第二步有m2種不同的方法,…,第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事一共有N?m1?m2???mn種不同的方法。

                二、方法與例題

                1.利用集合中元素的屬性,檢驗元素是否屬于集合。

                例1設M?{aa?x?y,x,y?Z},求證:

                (1)2k?1?M,(k?Z);

                (2)4k?2?M,(k?Z);

                (3)若p?M,q?M,則pq?M.

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